Messaoud Souilah

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Les mythes en Mathématiques


    Cette page intitulée LES MYTHES EN MATHEMATIQUES est en fait un texte publié par Jacques Harthong de l'université de Strasbourg dans la Gazette des Mathématiciens, SMF, No.17, Juillet 1981 intitulé L'ANALYSE NON STANDARD, UNE REVOLUTION SCIENTIFIQUE dans lequel il détaille l'existence de la notion de mythe chez les mathématiciens tant anciens que modernes, qu'ils soient conscients ou non. Il les incite, preuve à l'appui, à réfléchir sur les fondements réels de leur science (réel veut dire ici naturel, pratique, physique, ...). Il évoque historiquement deux types de mathématiciens : ceux qui se soucient des fondements réels de la mathématique comme Cronecker, Leibniz, L'Hopital, ... et ceux qui vivent dans une sorte de tour d'ivoire en dehors de toute projection pratique de la mathématique sur la réalité comme Cantor, Peano, Hilbert, D'Alembert, ... et leurs disciples. Malheureusement, depuis des siècles, ce dernier clan emporte derrière lui la majorité du troupeau des mathématiciens jusqu'à nos jours. Mais déjà, depuis Godel et après lui Skolem ensuite Robinson etc., il y a une classe de mathématiciens qui remet en cause les fondements de la mathématique classique quant à sa relation avec la pratique et sa vision erronée de la réalité physique. Surtout cette assimilation de la matière (qui est bien sûr discrète et finie) à des ouverts ou des domaines mathématiques continus et infinis (en nombre de points). C'est justement là où réside le problème de cette vision macroscopique et grossière de la matière, i.e. c'est dans le concept de point lui-même que réside l'essentiel du mythe de la mathématique et de toute l'analyse qui s'ensuit. Les exemples donnés par Cantor et Peano eux-mêmes (ensemble triadique de Cantor, surjection de Peano, ...) montrent que le concept de point est une notion totalement ridicule du point de vue de la pratique et de la physique. Sinon comment peut-on imaginer, par exemple, que l'intervalle [0,1] contient au moins autant de points que le carré [0,1]x[0,1] qui est lui une réunion non dénombrable d'intervalles de type [0,1] (i.e. l'union des [0,1]x{y}, pour y dans [0,1]). Le point mathématique est-il tout simplement un fantôme ? Cet article incite aussi à les mathématiciens à résoudre les problèmes posés en pratique selon l'échelle qui leur convient et d'éviter de regarder ces problèmes toujours à l'échelle macroscopique idéale seulement. Il incite aussi à redonner aux aspects naturels de la mathématique comme l'ARITHMETIQUE et les ensembles FINIS leurs rôles primordiaux et de marquer une certaine méfiance vis à vis des mythes imposés par les notions de POINT, d'INFINI et du CONTINU tant que ces derniers concepts n'auront pas fait preuve de faisabilité en pratique.

    Attention ! ce texte ne discute pas de la mathématique en tant que science pure, axiomatique et académique sur papier obéissant à des axiomes et des lois imaginaires mais plutôt il discute de sa relation avec la réalité, i.e. notre mathématique classique et usuelle est-elle bien réelle ?

    Enfin, une question logique cruciale (au sens de la logique mathématique) semble s'imposer : une théorie axiomatique cohérente et auto-suffisante peut-elle contenir des paradoxes comme la théorie des ensembles classique ZFC ? Ou bien, l'existence de paradoxes au sein d'une science n'est-il pas le signe de l'imperfection de cette science ? Seuls les logiciens pourraient répondre à cette question.
 
    Aujourd'hui, la mathématique non standard est vieille de vingt ans [1]. Vingt ans, cela représente un temps de relaxation hautement significatif : c'est à peu près le temps qui sépara les premiers écrits de Cantor sur les ensembles transfinis et l'explosion des découvertes inspirées par la théorie des ensembles; ou encore, le temps entre les premières apparitions de la constante de Planck (Planck 1900, Einstein 1905) et les débuts de la mécanique quantique. En somme, le temps pour qu'une mince frange d'esprits curieux ou pervers en entendent parler, en devinent l'importance, et commencent à explorer le continent dont elle a révélé l'existence. Ce délai paraitrait anormalement long pour une découverte ordinaire, inattendue, et dont la portée est incalculable. L'histoire des sciences nous montre que vingt ans est alors un délai normal.

    L'histoire des sciences montre aussi, avec une insistance extraordinairement répétitive, que ce sont toujours les petits faits anodins qui finissent par mener aux grandes découvertes; anodins, c'est à dire qu'en apparence rien ne les distingue de l'énorme masse des faits expérimentaux en tous genres dont s'entretiennent les scientifiques d'une époque; comme dans les bons romans policiers, c'est un indice insignifiant qui permet de confondre le coupable. Lorsque Max Planck, en 1900, émit son hypothèse pour expliquer une anomalie dans le rayonnement du corps noir, son article, n'avait pour les contemporains, rien de remarquable; il passa inaperçu. Encore Planck était-il un physicien renommé : son article fut accepté par la revue. Le système du monde de Copernic est l'archétype de toutes les révolutions scientifiques; celle qui a le plus grand marqué notre culture. Eh bien, pour ceux de ses contemporains qui n'y étaient pas franchement hostiles, ce système était ressenti comme rien de plus qu'une hypothèse commode, mais gratuite n'ayant plus de réalité (et même plutôt moins) que le système de Ptolémée [2]. En tout cas, personne ne soupçonnait alors l'importance de ses implications futures.

    L'histoire des sciences nous apprend encore un autre fait curieux : les idées nouvelles pleines d'avenir ne se sont pas seulement heurtées, à leurs débuts, au scepticisme, à l'indifférence, à l'hostilité ou à la dérision, ce qui n'aurait rien pour surprendre; mais on constate qu'en outre, elles avaient assez souvent la caractéristique de déchainer des passions et des polémiques extraordinaires; beaucoup d'universitaires du passé, bien en place dans l'institution (des mandarins, dirions-nous aujourd'hui) ont laissé à la postérité le souvenir peu reluisant de condamnations prononcées en termes outranciers contre des idées qui ont ensuite fait fortune; certains, comme Poincaré - et c'est tout à son honneur - ont toujours pris soin, lorsqu'ils exprimaient publiquement leur scepticisme, de l'accompagner de quelques formule prudente rappelant que nul ne peut voir au-delà de son temps; mais d'autres étaient à ce point sûrs d'avoir raison qu'ils ne reculèrent devant rien; l'acharnement d'Ernest Mach, au nom de convictions philosophiques, contre la structure atomique de la matière accula Boltzmann au suicide; le comble de l'outrance fut peut être atteint par le mathématicien Duhring (surtout célèbre par l'anti-Duhring de F. Engels) contre les géométries non euclidiennes, sorties tout droit, selon lui, "du cerveau dégénéré de Gauss" [3]. Il est remarquable que les idées qui ont fortement marqué l'histoire d'une science ont si souvent (mais pas toujours) fait perdre tout contrôle à tant d'hommes par ailleurs fort sérieux, et surtout, se réclamant de l'esprit scientifique. Les condamnations prononcées par des philosophes paraissent moins surprenantes -- car ce sont des philosophes; mais si ces derniers furent nombreux autrefois à faire ainsi la leçon à la science (signalons le cas particulièrement célèbre de Hegel contre l'évolution des espèces et de Bergson contre la théorie de la relativité). Cette prétention semble s'être faite plus rare aujourd'hui; alors que parmi les scientifiques, il n'en est rien. C'est peut-être parce que les philosophes connaissent l'histoire des sciences. Tandis que les scientifiques la connaissent en général fort peu (ou expurgée de détails croustillants, peu respectueux pour la mémoire des héros : c'est pire !).

    Cette perte de contrôle, cet excès de confiance dans les idées reçues qui contamine ainsi, brusquement, toute une communauté, a quelque chose de mystérieux. Tout se passe en effet comme si les protagonistes avaient le pressentiment - inconscient - de l'importance de l'enjeu. Inconscient, forcement : puisqu'ils la nient, eux, cette importance; mais il y a néanmoins comme une prémonition, car on ne sacrifie pas pour rien toute cette dignité si chèrement acquise, toute cette réputation de sérieux et de compétence, en un mot toute cette autorité, qui a exigé que l'on gravisse une à une les marches d'une longue carrière. C'est pourquoi nous appellerons syndrome de prémonition ce comportement qui jalonne les grandes découvertes de l'histoire des sciences. Nous tenterons, plus loin, d'en comprendre le mécanisme.

    Il serait toutefois injuste de présenter les novateurs comme d'éternelles victimes; certes, Boltzmann se suicida, mais ce destin exceptionnel (d'ailleurs, c'était un dépressif) et son procureur, Ernst Mach, fut aussi un novateur dans sa jeunesse : il se vit refuser un article par M. Poggendorff, rédacteur des Annalen der Physik und Chemie. Là encore, la bonne connaissance de l'histoire des sciences doit nous préserver d'une vision fausse; ceux qui brulèrent Giordano Bruno avaient des raisons politiques; la confirmation, la preuve scientifique des idées nouvelles ne les auraient pas fait reculer, mais au contraire frapper plus fort. Tandis que la communauté scientifique, lorsqu'elle manifeste de l'hostilité, ne le fait que durant la courte période où le doute subsiste, où l'on n'est pas encore bien certain de la différence entre ce qui est révolutionnaire et ce qui est farfelu. Le même Poggendorff est célèbre pour avoir refusé en 1841 un manuscrit de Julius Robert Mayer où était soutenue pour la première fois la thèse de l'équivalence entre l'énergie mécanique et la chaleur, et en 1847 un autre, de Hermann Von Helmholtz sur le même sujet; pour Poggendorff, ces articles ne présentaient pas de preuves expérimentales suffisantes, et se contentaient d'arguments par trop philosophiques. On peut reprocher à Poggendorff d'avoir été borné; rassurez-vous, cela a été fait; mais lui au moins, a assumé la responsabilité de ses décisions (les rapporteurs d'aujourd'hui, échaudés, s'abritent derrière une institution qui veille bien au secret); il n'a peut-être pas vu aussi loin que certains jeunes, très brillants, mais sa motivation était le maintien d'un esprit de rigueur scientifique, et non l'étouffement d'une vérité pour le bien de l'ordre établi; cette fois, la leçon de l'histoire est que les scientifiques adoptent volontiers les idées les plus novatrices une fois que le doute est dissipé par l'accumulation des preuves [4]; Leur résistance est celle du sceptique ou de l'opportuniste et non celle du conservateur. Cette thèse est notamment soutenue par Lewis S. Feuer, qui conclut : "La communauté fondée sur la suprématie des faits expérimentaux était plus puissante que les divisions politiques." [5]

    Les mathématiciens ont actuellement sous leurs yeux une révolution scientifique. On ne voit rien, et pour cause ! Comme les autres, elle est née sous un petit fait anodin : la démonstration par Th. Skolem de l'impossibilité de caractériser l'ensemble N des entiers naturels d'une manière purement axiomatique [6].

     Autrement dit : nous avons beau choisir, pour définir l'arithmétique, des systèmes d'axiomes élaborés que nous voulons, il y aura toujours une multiplicité de modèles, c'est à dire d'ensembles (non équipotents) pouvant jouer le rôle de N. Ce petit fait fut tellement anodin que, découvert en 1920 environ, il ne fut publié qu'en 1934 et n'intéressa personne (en dehors d'un cercle très restreint de spécialistes de la logique) jusqu'en 1960 où Robinson en comprit la portée. Depuis, nous avons tous eu vent du syndrome caractéristique dont nous avons parlé plus haut, et qui en a résulté.

    L'analyse non standard a révélé un continent dont l'existence même était insoupçonnée; à fortiori son étendue. Aujourd'hui encore, les travaux qui s'en inspirent ne constituent à eux tous qu'une part infinitésimale de l'ensemble de la recherche en mathématique; et parmi ces travaux, ceux que Robinson put connaitre de son vivant n'en sont qu'une faible part. Il n'est donc pas surprenant que Robinson lui-même, s'il put deviner ou imaginer (ou espérer ?) la portée de sa découverte, ne put jamais la connaitre avec toute la force de la réalité; pas plus qu'il ne put en penser ni en exprimer l'essence véritable : l'analyse non standard est issue de la théorie des modèles, et utilise pour se fonder le cadre traditionnel de la théorie formelle des ensembles. Or, nous pourrons constater dans les faits (voir plus loin) que le contenu historique, encore en partie latent, de la mathématique non standard est extérieur à ce cadre traditionnel; extérieur aussi à l'alternative formalisme/constructivisme [7], et la pratique mathématique des physiciens nous montrera qu'il se situe même à l'extérieur de toute problématique relative aux fondements (mytho-) logiques de la mathématique. Les chercheurs post-robinsoniens [8] savent fort bien, par expérience, que l'analyse non standard peut se fonder (mytho-) logiquement d'innombrables manières, sans que le choix du mythe affecte le contenu pratique. Mais Robinson la découvrit au point où quelque angoissante contradiction souterraine [9] affleurait à la surface du langage formaliste traditionnel, et le pensa d'abord dans ce langage. Tous les novateurs ont connu cela :

    "Il faut bien convenir qu'aucune grande découverte ne s'est faite sans que soit mis en évidence un nouvel objet, ou un nouveau domaine, sans qu'apparaisse un nouvel horizon de sens, une nouvelle terre, dont sont bannies les anciennes images et les anciens mythes, mais en même temps il faut bien, et c'est de toute nécessite, que l'inventeur de ce nouveau monde se soit exercé l'esprit dans les normes anciennes elles-mêmes, qu'il les ait apprises et pratiquées, et dans leur critique ait pris le gout et appris l'art de manier des formes abstraites en général, sans la familiarité desquelles il n'aurait pu en concevoir de nouvelles pour penser son nouvel objet. Dans le contexte général du développement humain qui rend pour ainsi dire urgente, sinon inévitable toute grande découverte historique, l'individu qui s'est fait l'auteur est soumis à cette condition paradoxale d'avoir à apprendre l'art de dire ce qu'il va découvrir dans cela même qu'il doit oublier." (Louis Athusser. Pour Marx. ed. Maspero p.83)

    Mais Althusser parle là avec un siècle de recul. Je parle avec vingt ans seulement. De la nouvelle terre, nous pouvons à peine deviner les contours; et les anciens mythes sont encore prégnants. Si je prétends que l'analyse non standard est une révolution scientifique, je ne peux encore, aujourd'hui, invoquer l'évidence des faits accomplis. Je dois m'attacher à le prouver, ou du moins à en convaincre; à prouver, donc, non seulement que les idées de Robinson ouvrent un continent, mais qu'elles sont de nature à ébranler d'anciens mythes. En outre, je dois faire cette preuve dans un contexte où "le mythe est (encore) lu comme un système factuel alors qu'il n'est qu'un système sémiologique" (Roland Barthes). Que le lecteur me pardonne, mais je ne puis m'éviter, pour parvenir à mes fins, un long développement destiné à bien préciser ce qu'est le mythe en général. Nous allons voir que des auteurs très différents [10] peuvent s'accorder sur ceci : il y a des mythes au sein de la mathématique, comme au sein de toute science.

    Un mythe est le contraire d'une perception objective; il est produit par l'imaginaire des hommes. Il n'est pas, comme la connaissance, une marque inévitable imposée par le monde extérieur pour y survivre en utilisant les faits, mais au contraire une construction motivée soit par le désir que les choses soient autres qu'elles ne sont, soit par une volonté mystificatrice; dans ce dernier cas, le mythe est utilisé pour faire croire que les choses sont autres qu'elles ne sont. Ainsi l'homme produit des mythes pour s'attribuer une origine digne de la valeur qu'il se donne : le nombril du monde; le pouvoir, la classe dominante, répandent des mythes sur leur vraie nature afin de faire croire qu'ils représentent l'intérêt général; etc. La connaissance produit toujours l'effet inverse; remettre le sujet (l'homme, le Pouvoir, la classe dominante) à sa juste place. Dans la plupart des cultures, le mythe revêt la forme d'une histoire racontant la création du monde; c'est le mythe primitif; mais notre civilisation, si riche en significations (littérature, mass media) produit des mythes innombrables, multiformes, omniprésents. Et on ne peut vivre sans.

    "Personnellement, la définition qui me semble la moins imparfaite, parce que la plus large, est la suivante : le mythe raconte une histoire sacrée; il relate un évènement qui a eu lieu dans le temps primordial, le temps fabuleux des "commencements". Autrement dit, le mythe raconte comment, grâce aux exploits des Etres Surnaturels, une réalité est venue à l'existence, que ce soit la réalité totale, le Cosmos, ou seulement un fragment : une ile, une espèce végétale, un comportement humain, une institution. C'est donc toujours le récit d'une "création" : on raconte comment quelque chose a été produit, a commencé à être. Le mythe ne parle que de ce qui est arrivé réellement, de ce qui s'est pleinement manifesté. Les personnages des mythes sont des Etres Surnaturels. Ils sont connus surtout par ce qu'ils ont fait dans le temps prestigieux des "commencements". Les mythes révèlent donc leur activité créatrice et dévoilent la sacralité (ou simplement la "surnaturalisté") de leurs œuvres. En somme, les mythes décrivent les diverses, et parfois dramatiques, irruptions du sacré (ou du "surnaturel") dans le Monde. C'est cette irruption du sacré qui fonde réellement le monde et qui le fait tel qu'il est aujourd'hui" (Mirces Eliade. Aspects du mythe. Ed. Gallimard, p.15)

    Dans cette définition plutôt vague, Eliade avait en vue les mythes des cultures primitives [11]. Mais à la fin du livre il évoque les mythes du monde moderne, en montrant que le mythe est consubstantiel à la condition humaine :

    "Un personnage fantastique, Superman, est devenu extrêmement populaire grâce surtout à sa double identité : descendu d'une planète disparue à la suite d'une catastrophe, et doué de pouvoirs prodigieux, Superman vit sur la Terre sous les apparences modestes d'un journaliste, Clark Kent; il se montre timide, effacé, dominé par sa collègue Lois Lane. Ce camouflage humiliant d'un héros dont les pouvoirs sont littéralement illimités reprend un thème mythique bien connu. Si l'on va au fond des choses, le mythe de Superman satisfait les nostalgies secrètes de l'homme moderne qui, en se sachant déchu et limité, rêve de se révéler un jour un "personnage exceptionnel", un "héros". (p.223--224).

    On reconnait sans difficulté la filiation : la tribu primitive qui rêve de descendre non pas du singe, mais d'êtres surnaturels, à Clark Kent qui rêve d'être Superman au lieu de s'écraser devant le chef. Eliade conclut son livre :

    "On devine dans la littérature, d'une manière plus forte encore que dans les autres arts, une révolte contre le temps historique, le désir d'accéder à d'autres rythmes temporels que celui dans lequel on est obligé de vivre et de travailler. On se demande si ce désir de transcender son propre temps, personnel et historique, et de plonger dans un temps "étranger", qu'il soit extatique ou imaginaire, ne sera jamais extirpé. Tant que subsiste ce désir, on peut dire que l'homme moderne garde encore au moins certains résidus d'un "comportement mythologique". Les traces d'un tel comportement mythologique se décèlent aussi dans le désir de retrouver l'intensité avec laquelle on a vécu, ou connu, une chose pour la première fois; de récupérer le passé lointain, l'époque béatifique des "commencements".

    Comme il fallait s'y attendre, c'est toujours la première lutte contre le Temps, le même espoir de se délivrer du poids du "Temps mort", du temps qui écrase et qui tue". (p.232)

    Mais cette révolte contre le Temps, que l'on devine dans la littérature, qui constitue la nature profonde du mythe, et qui est consubstantielle à la condition humaine, ne le devine-t-on pas aussi dans la science, dans la mathématique, par exemple ? Bien sûr que si, puisque ce sont des hommes qui font des mathématiques. La mathématique est même un merveilleux nid pour les mythes, puisque sa nature est de se protéger contre toute corruption de la matière (il y subsiste néanmoins un réel, odieux bien entendu, et donc des connaissances sont possibles sur ce réel). Toutes les sciences sont imprégnées de mythes, mais on ne s'aperçoit le plus souvent qu'après coup : la cosmologie, par exemple, a reposé longtemps sur le système de Ptolémée, c'est à dire sur le géocentrisme et la perfection du cercle; il eut aussi les harmonies célestes de Kepler, mythe pythagoricien basé sur la beauté de certaines proportions; la physique a connu les temps du phlogistique, de l'éther; aujourd'hui aussi, il se trouve des scientifiques pour soupçonner dans des théories à la mode l'émanation d'un mythe [12]. Aucune science ne peut être faite de connaissance pure. On fait reposer la mathématique, par exemple, sur un mythe, dont la beauté me parait d'ailleurs assez quelconque [13].

    " ... un texte mathématique suffisamment explicite pourrait être exprimé dans une langue conventionnelle ne comportant qu'un petit nombre de "mots" invariables assemblés suivant une syntaxe qui consisterait en un petit nombre de règles inviolables : un tel texte est dit formalisé." (N. Bourbaki. Eléments de mathématique. Livre I, p.1)

    D'autres auteurs plus talentueux ont su présenter ce mythe sous une forme plus poétique :

    "Le langage de la mathématique formelle est constitué de signes (i.e. de formes matérialisables susceptibles d'être immortalisées à l'aide d'un burin sur une plaque de marbre - ce qui coute cher - ou à défaut, grâce à la technique moderne, sur une omoplate de chameau, ce qui dure, hélas, moins longtemps). On convient que toute scribe assez habile est capable de reconnaitre un tel signe et de le reproduire sans altération, autant de fois que nécessaire." (R. Lutz et M. Goze. Pratique commentée de la méthode non classique. 2ème partie, leçon 1).

    Les auteurs sous-entendent évidemment que le burin serait tenu par des Etres Surnaturels, immortels, et des hommes, chassés du Paradis pour y avoir pratiqué la sexualité de groupe, tendent depuis ce Temps de comprendre le texte gravé sur le marbre, dont le véritable sens s'est perdu : c'est là l'origine de la mathématique.

    Au fond, ce mythe analysé par Claude Lévi-Strauss, devrait apporter autant de renseignements sur les mathématiques que le mythe de Superman, analysé par les historiens du futur, sur les Américains du XXème siècle. Mais même sans recourir au structuralisme, nous pouvons lire directement dans ce mythe une grande soif absolue de l'éternité : toujours la même lutte contre le Temps, dont parlait Eliade. Dans ce monde où rien n'est éternel, où tout coule (Heraclite), la vérité du théorème de Pythagore demeure; certes, les figures tracées par le maitre sur quelque support matériel ont disparu; mais la vérité formelle, désincarnée, du célèbre théorème demeure et c'est ce fait heureux qui inspira le mythe. Naturellement, la possibilité de fonder la mathématique sur un langage formalisé est entièrement imaginaire :

    "Point n'est besoin d'une longue pratique pour s'apercevoir qu'un tel projet est absolument irrésistible; la moindre démonstration du début de la Théorie des Ensembles exigerait déjà des centaines de signes pour être complètement formalisée". (Ibid. p.7)

    "Ainsi, rédigé suivant la méthode axiomatique, et conservant toujours présente, comme une sorte d'horizon, la possibilité d'une formalisation totale, notre Traité vise à une rigueur parfaite." (Ibid. p.7)

    La possibilité d'un texte formalisé est imaginaire, mais le désir d'une rigueur parfaite est réel. La question qui survient alors est la suivante : O.K., le projet est irrésistible; mais qu'y a-t-il de réel dans la mathématique entre le désir et son objet irréalisable ? Eh bien, ce qu'il y a de réel, c'est le réel historique, c'est la pratique du mathématicien. Ceci n'est pas un mythe :

    "La mathématique formelle ne peut être écrite toute entière; force est donc, en définitive, de faire confiance à ce qu'on peut appeler le sens commun du mathématicien; confiance analogue à celle qu'un comptable ou un ingénieur accorde à une formule ou une table numérique sans soupçonner l'existence des axiomes de Peano, et qui finalement se fonde sur ce qu'elle n'a jamais été démentie par les faits." (Ibid. p.6)

    Autrement dit : ce qui permet de faire des démonstrations rigoureuses et de s'assurer qu'un résultat est vrai, ou que tel problème est mal posé, c'est le sens commun du mathématicien; quant au langage formel, c'est à dire au mythe "que l'on conserve présent comme une sorte d'horizon", il sert à rassurer le mathématicien; en aucun cas le guider.

    Mais du coup, la pratique du mathématicien, c'est à dire le résultat ultime, le condensé, la quintessence de l'histoire réelle de la mathématique, toute la richesse accumulée par les trente siècles de tâtonnements et de bouleversements conceptuels, qui vont du premier saut dans l'abstraction du nombre et du point jusqu'aux outils de l'Analyse moderne, est effacée par le mythe, alors qu'elle est la seule réalité; a sa place, comme explication de l'existence et du contenu de la mathématique, le mythe nous offre l'idéal pur d'un systèmes de signes; le mythe, satisfaction imaginaire d'un désir, devient alors mystification. Et nous retrouvons encore un caractère universel du mythe, dégagé depuis fort longtemps déjà par Roland Barthes :

    "Ce que le monde fournit au mythe, c'est un réel historique, défini, si loin qu'il faille remonter, par la façon dont les hommes l'ont produit ou utilisé; et ce que le mythe restitue, c'est une image naturelle de ce réel. (...) le mythe est constitué par la déperdition de la qualité historique des choses : les choses perdent en lui le souvenir de leur fabrication. Le monde entre dans le langage comme un rapport dialectique d'activités, d'actes humains : il sort du mythe comme un tableau harmonieux d'essences. Une prestidigitation s'est opérée, qui a retourné le réel, l'a vidé d'histoire et l'a rempli de nature, qui a retiré aux choses leur sens humain de façon à leur faire signifier une insignifiance humaine. La fonction du mythe, c'est d'évacuer le réel : il est, à la lettre, un écoulement incessant, une hémorragie, ou, si l'on préfère, une évaporation, bref une absence sensible." (Roland Barthes. Mythologies. Ed. du Seuil, 1970, p.230)

    Soyons encore plus précis et encore plus explicites. Barthes donne l'exemple suivant (le texte date de 1956) :

    "Je suis chez le coiffeur, on me tend un numéro de Paris-Match. Sur la couverture, un jeune néré vêtu d'un uniforme français fait le salut militaire, les yeux levés, fixes sans doute sur un pli du drapeau tricolore. Cela, c'est le sens de l'image. Mais, naïf ou pas, je vois bien ce qu'elle me signifie : que la France est un grand Empire, que tous ses fils, sans distinction de couleur, servent fidèlement sous son drapeau, et qu'il n'est pas de meilleure réponse aux détracteurs d'un colonialisme prétendu, que le zèle de ce noir à servir ses prétendus oppresseurs." (Ibid. p.201)

    Cet exemple montre exactement le discours mystificateur du discours mythique. En ce qui nous concerne, la mathématique, quel est le "sens de l'image". C'est l'intuition hilbertienne, qui fut géniale et historique, d'asseoir la scientificité non pas de la mathématique, mais de l'étude des ensembles infinis de Cantor, sur l'objectivité de principe d'un texte formalisé. Ce sens, comme le vrai jeune soldat colonial qui a posé pour la photo, est riche de toute une histoire; il est le produit de toutes les controverses sur le transfini, de toute une expérience mathématique acquise par des siècles de travail collectif. Chez Hilbert, Zermelo, Fraenkel, c'est un réel historique. Chez Bourbaki, ce sens est vide de tout ce contenu, pour nous signifier ceci : la mathématique est une science pure, hors du temps, de l'espace, de la matière; si elle doit, pour s'exprimer sur le papier, recourir au langage humain, c'est à cause de l'imperfection humaine, mais elle émane directement de l'Idée; elle n'est soumise ni aux mutations de l'Histoire, ni à la variabilité de la matière. Et on notera encore cela, qui montre bien le travail mythe : de même que dans l'exorcisme, en même temps qu'on invoque la présence des Dieux, il est nécessaire de respecter un rituel, Bourbaki, en même temps qu'il invoque la présence d'un texte formalisé, tente vainement de s'en approcher en imposant à l'écriture elle-même le formalisme de plomb devenu légendaire, qui n'apporte rien à la rigueur, enlevé tout à la clarté, et n'a qu'une seule motivation possible : celle du mythe.

    C'est l'existence de tels mythes qui explique le syndrome de prémonition, si souvent observé dans l'histoire des sciences. Puisque le mythe apporte la satisfaction imaginaire d'un désir, le rapport du scientifique à son mythe est affectif : il y trouve l'illusion d'une sécurité, d'un pouvoir, ou de bien d'autres choses. Toutes les frustrations imposées par la condition humaine peuvent y trouver un soulagement. C'est pourquoi, lorsqu'une découverte vient ébranler un mythe dans lequel ils étaient confortablement installés pour rêver, d'aucuns peuvent manifester quelque mauvaise humeur. J'en ferai autant : c'est la vie ! Mais il y en a qui feraient mieux de prendre cela avec philosophie au lieu de s'exposer à l'infarctus. Les mythes ? Un de perdu, dix de retrouvés.

    Ce lien affectif entre le mathématicien et son mythe est justement ce qui échappe complétement aux études historiques; le poète ou l'artiste laissent à la postérité une expression directe, explicite, de ce qu'ils ont vécu; le scientifique lui, n'en laisse qu'une expression extrêmement indirecte, illisible, méconnaissable. Aussi, pour comprendre le fond de ses sentiments, il n'y a que l'expérience vécue [14]. Quiconque a vécu parmi les mathématiciens a certainement été frappé par l'aversion profonde de la part d'entre eux pour le monde réel; en mathématique (pure) "on fait les choses proprement", parce qu'auparavant on a pris bien soin de tout stériliser par le maintien, au besoin sourcilleux et tatillon, dans l'abstrait. Le réel, c'est un démon qui vient toujours abattre les belles constructions que l'on a accomplies avec tant de soin et de patience, comme le philistin qui venait d'interrompre les rêveries du jeune homme romantique. Ce besoin d'absolu se reconnait dans le mythe d'une science immuable dont l'objet comme la méthode auraient été fixés de toute éternité.

    Certains expliquent ce caractère par la formation scolaire du mathématicien : issu le plus souvent des meilleurs élèves, c'est à dire les plus adaptés à un enseignement dogmatique et abstrait, qui privilégie avant tout l'esprit de système et le sens de la classification, il a réussi les concours d'entrée aux grandes écoles section A prime. Le monde n'est pas formalisé, mais les épreuves de nos examens et de nos concours le sont. Les mathématiciens feraient alors des mathématiques de la seule manière qu'ils n'aient jamais apprise : celle des problèmes de concours. Ce n'est pourtant pas une explication; car l'enseignement est fait par des professionnels qui auraient suivi le même cursus, et d'autre part si ces jeunes gens aiment tant les concours de la section A prime et les situations formalisées, c'est qu'ils y trouvent quelque chose dont ils avaient déjà besoin avant. J'avais fait observer plus haut que le mythe scientifique était à la fois une rêverie et une mystification. Si on est attentif, on pourra constater que le mythe est investi par un désir préexistant chez l'enseigné (l'étudiant, le jeune chercheur), et qu'il est mystification chez l'enseignant (ce dernier pouvant être dupe ou non, c'est à dire naïf ou cynique : du moment qu'il enseigne le mythe, il mystifie). Cette particularité du mythe scientifique est évidemment liée au caractère cumulatif de la science, qui transmet son patrimoine de génération en génération. Ce sont donc trois déterminations qui se rencontrent pour faire le mythomaticien tel qu'il est : la première est sociale (l'école); la seconde appartient à la communauté des mathématiciens (la volonté mystificatrice, qui procède d'une logique sous-jacente, inavouée; pour la connaitre, interrogez un mathématicien cynique); la troisième est individuelle (la motivation personnelle, qui se reconnait dans un mythe).

    Faire des mathématiques, c'est investir un objet avec tout son être, toute sa sensibilité et particulièrement toute sa fantasmatique personnelle. (J. Nimier). Mais il y a dans les mathématiques une part d'imagination et de créativité tout à fait indépendante de la recherche de l'absolu immatériel; et si les premières, comme chez tous les scientifiques, s'accommodent fort bien de la rigueur, elles peuvent dans certains cas s'accorder fort mal avec le rituel de l'exorcisme, celui-ci pouvant devenir la négation même des premières. Le désir qui s'exprime dans la formalisation outrancière, c'est à dire celle qui va très au-delà des nécessites de la rigueur scientifique pour tenter vainement de se rapprocher de cet idéal mythologique de marbre gravé et d'éternité, est en fait le désir de quelque chose qui a en effet un rapport étroit avec l'éternité et le marbre gravé, mais qu'on trouve plutôt sous le marbre que dessus. Combien de drames secrets sont-ils fossilisés dans les Eléments de mathématique de N. Bourbaki ? Et surtout, combien de mathématiciens ont-ils découvert là-dedans l'expression tragique de leur propre histoire ? Peut-être Bourbaki a-t-il été le porte-parole génial d'une détresse existentielle vécue incognito par toute une génération de mathématiciens. Et dire que nous n'en saurons jamais rien ! Sauf si quelqu'un qui a vécu raconte.

    La mathématique non standard incitera certainement les mathématiciens à une nouvelle réflexion sur les fondements de leur science. Mais il faut rappeler à ce sujet qu'il y a près de cinquante ans, un autre mathématicien, Kurt Godel, bouleversera profondément le problème; en effet, la découverte de Robinson doit être considérée, historiquement, comme une des retombées de ce premier bouleversement. Or les célèbres théorèmes de K. Godel étaient déjà en leur temps un évènement indiquant que le programme lancé par Hilbert, Zermelo et Frankel ne pourraient jamais servir que de mythe. Mais leurs conséquences restèrent confinées dans le cadre bureaucratique étroit d'une spécialité, la logique; ainsi isolée dans ce qu'il faut bien appeler un asile, une science marginale pouvait continuer d'être le seul lieu de réflexion critique sur la mathématique, sans pour autant mettre à mal le mythe hilbertien du marbre gravé. Ce fut possible parce que les travaux et les résultats de Godel ne pouvaient apporter aucun changement à la pratique du mathématicien. Il en va différemment de l'analyse non standard, qui, elle, vient occuper dans la pratique même tous les terrains de l'ancienne analyse, suscitant çà et là des réactions d'agacement de la part de gens qui se croyaient bien tranquilles. Pire : elle révèle qu'une pratique - celle du physicien mathématicien - que l'on croyait dépourvue de fondement est en fait parfaitement légitime. A quoi s'accrocher ? Toutes les grandes découvertes ont révélé le caractère mythique de croyances bien ancrées; et si, comme je viens de le montrer, une réflexion sur les fondements a permis de découvrir un nouveau continent, celui-ci ne s'en situe pas moins dans le domaine de la connaissance objective; ce qui serait alors intéressant, ce serait de savoir quelles perspectives nouvelles nous sont offertes, quels changements dans nos habitudes de pensée devront être opérés, quelles illusions devront être abandonnées, bref, de cerner même provisoirement, même grossièrement, le continent qui vient de paraitre. Tout cela concerne le terrain où le mathématicien exerce sa pratique : où il invente des techniques et des concepts, résout d'anciens problèmes et en pose de nouveaux; il peut être répondu à cette question à la lumière des travaux déjà accomplis. Tirons quelques leçons de cette toute jeune expérience.

    Les travaux actuellement existants, qui se réclament de l'héritage Robinsonien concernent principalement (à ma connaissance) :

    - les processus stochastiques (E. Nelson, P. Loeb, T. Lindstrom et quelques autres);
    - les équations différentielles ordinaires (F. & M. Diener, A. Troesch, E. Urlacher, E. Benoit, J.L. Callot, B. Birkeland, etc.);
    - quelques essais divers sur les équations aux dérivées partielles où les perspectives paraissent immenses.

    Tous ces travaux ont un point commun (en dehors, évidemment, de la référence à A. Robinson) : ils consistent à étudier un problème à une certaine échelle déterminée. Cette notion d'échelle, évidente pour un physicien, est absolument rebelle à la mathématique classique car elle repose sur la distinction, parmi les nombres, d'ordres de grandeur différents. Cette notion a bien existé autrefois, chez Leibniz ou chez le Marquis de l'Hôpital; mais ces auteurs n'ayant pas su en faire une théorie cohérente, elle fut refoulée, avec parfois beaucoup de regrets (exemple : Bolzano), sous l'impulsion de d'Alembert [15], Lagrange, puis Cauchy, Bolzano et Weierstrass [16]. Pour l'analyse classique, on peut distinguer les nombres par leur ordre (x<y) mais pas par leur ordre de grandeur (x<<y : x infiniment plus petit que y); la topologie ne reconnait aucune différence de nature entre ce qui est grand et ce qui est petit; or la simple relation d'ordre ne permet pas d'envisager une notion de la grandeur qui se conserve par des opérations algébriques courantes, à cause du caractère archimédien du corps des réels. Donc : pas d'infiniment petit, pas d'échelles, pas de microscopes.

    En revanche, une théorie mathématique des infinitésimaux, et cela indépendamment du mythe qui la fonde, offre des possibilités immenses :

    1. D'innombrables raisonnements de mathématiciens anciens tels que Leibniz, Michel de l'Hôpital, Bernoulli [17] sont fort courants dans les ouvrages de physique théorique [18], mais rejetés à juste titre comme non rigoureux (mais pourtant très efficaces, ce qui aurait du paraitre étrange, et souvent beaucoup plus simple que les détours imaginés pour les remplacer) acquièrent une justification théorique.

    2. Il devient possible d'étudier un même phénomène mathématique, tel que par exemple une fonction ou un système différentiel, à des échelles différentes, de sorte que chaque échelle permet d'en isoler un aspect intéressant. Dans la plupart des cas, deux échelles suffisent : une échelle microscopique et une échelle macroscopique. Un même phénomène peut présenter à l'échelle microscopique une complexité telle que toute analyse mathématique en soit impossible, et néanmoins présenter à l'échelle macroscopique une structure remarquablement simple. Ce peut être le cas pour les trajectoires d'un système différentiel dont la géométrie exacte ne peut être calculée et ne présente pas de particularité saillante, mais dont la géométrie macroscopique manifeste des comportements remarquables [19]. Ou encore, pour les solutions d'équations aux dérivées partielles, dont la trace macroscopique est soumise à des lois simples [20].

    3. Beaucoup de progrès accomplis par la mathématique classique ont été permis par l'extension d'une notion antérieure; les mesures (E. Borel), qui généralisent les fonctions ou les lois de probabilité discrètes, transformèrent le calcul des probabilités; les "parties finies d'intégrales divergentes" (J. Hadamard), qui généralisent aussi les fonctions, furent d'une grande utilité pour l'étude des équations aux dérivées partielles. Les distributions (L. Schwartz), qui généralisent à la fois tout ce qui précède, eurent d'innombrables applications dont l'exploitation n'est pas encore épuisée aujourd'hui. Ce procédé est très courant dans la mathématique classique; je n'ai fait que citer les exemples les plus prestigieux. La plupart des mathématiciens croient naïvement que ces objets (disons, les distributions) sont plus riches et plus complexes que les fonctions usuelles, qu'elles généralisent. La mathématique non standard nous enseigne qu'en fait, elles sont plus simples et plus pauvres; elles sont des traces macroscopiques de fonctions différentiables [21]. Il n'est plus du tout certain qu'elles soient les objets les mieux adaptés à l'étude des équations aux dérivées partielles. A l'avenir, les mathématiciens n'auront plus à construire des objets plus généraux que ceux qui existent déjà, ou que ceux qui existeront déjà, mais à choisir la bonne vision macroscopique; l'embarras ne sera plus celui d'une construction artificielle et abstraite, mais celui du choix. Ce n'est évidemment pas non plus une voix royale.

    4. Enfin, ce qui me parait être l'essentiel de la découverte, c'est ce que E. Nelson appelle l'idéalisation [22]: Toute propriété relative au continu est la trace macroscopique d'une propriété relative à un ensemble fini. L'idéalisation s'est manifestée dès les débuts de l'analyse non standard; par exemple dans le livre de Robinson, on trouvera (p. 67) une démonstration du théorème de la valeur intermédiaire (rappelons que selon les idées classiques, ce théorème est une conséquence du fait que toute partie bornée de R possède une borne supérieure) qui utilise simplement le fait que tout ensemble fini de nombres possède un plus grand élément. A cette occasion, Robinson prend comme fonction continue des extensions de fonctions continues standard, c'est à dire qu'il fait jouer le principe du transfert; mais rien, si ce n'est le poids de la tradition, ne l'empêcherait d'appeler fonction continue une application f de l'ensemble (fini) {1,2,…,w} dans lui-même, avec w entier infiniment grand, telle que |m-n|<<w⇒|f(m)-f(n)|<<w. Le théorème des valeurs intermédiaires est donc l'expression d'une propriété des ensembles {1,2,…,w} à laquelle personne n'avait jamais songé. Le corps des réels, R, est la trace macroscopique d'un quelconque groupe cyclique Z/pZ, p premier infiniment grand. Des groupes finis moins simples laissent-ils une trace macroscopique ? Comme plus haut pour les fonctions continues, on peut considérer des fonctions différentiables sur un ensemble fini. Les équations différentielles sont des traces macroscopiques d'équations aux différences finies. Des travaux tout récents [23] ont montré que les processus stochastiques de J.L. Doobe (qui généralisent le mouvement brownien de N. Wiener) sont des traces microscopiques de processus discrets, mais suffisamment réguliers pour laisser une telle trace. L'idéalisation, on l'a maintenant deviné, conduit à ceci : pourvu que, parmi ne serait-ce que les entiers naturels, on ait distingué des infiniment grands, toute l'analyse classique, c'est à dire notamment la géométrie différentielle, le calcul infinitésimal, les équations aux dérivées partielles, apparait comme une partie, au demeurant fort réduite, de l'arithmétique, mais vue à grande échelle. Au fond, cela n'est paradoxal que dans une vision mythologique de la mathématique; car la plupart des chapitres de l'analyse sont des idéalisations (on comprend maintenant le choix de ce mot) de figures ou de situations étudiées par les sciences de la nature, où l'illusion du continu n'est qu'un effet de l'observation à grande échelle, due au pouvoir séparateur assez limité de l'œil ou des instruments de mesure; par exemple, en mécanique des fluides, un fluide est décrit par une fonction (différentiable) solution d'équations aux dérivées partielles le plus souvent non linéaires et la théorie mathématique qui en résulte appartient au domaine du continu; mais le vrai fluide est constitué d'innombrables grains, les molécules. L'analyse non standard, issue d'une réflexion au sein des fondements axiomatiques de la mathématique, a ainsi retrouvé, sous le mythe, la souillure originale de cette science. On ne sera donc pas surpris de constater que les physiciens, nullement impressionnés par les exigences de d'Alembert et ses enfants spirituels, n'aient jamais cessé de pratiquer l'analyse non standard sans le savoir. Sans le savoir, c'est à dire sans en avoir la théorie : ils connaissaient cette analyse de manière empirique, et faisaient confiance à cette méthode, une confiance "qui finalement se fondait sur ce qu'elle n'a jamais été démentie par les faits". Malgré tout, on sera peut-être quand-même surpris, en lisant quelques textes écrits par des physiciens, de voir jusqu'à quel point pouvait aller la similitude des pratiques. Il faut être bien conscient du fait suivant : s'il est vrai que la nature est l'objet de la physique, c'est en tant qu'objet potentiel; l'objet actuel de la physique, à chaque moment de son histoire, n'est jamais qu'une tranche de la nature, celle qui en est observable à une échelle de grandeur et à une précision déterminées par la perfection des instruments de mesure. Il y aura donc toujours des infiniment petits et des infiniment grands en physique : par exemple, en 1981, une longueur de 10⁻²⁰ cm ou un temps de 10⁻³⁰ s sont des infiniment petits. Par conséquent, c'est dans la mathématique non standard que les lois de la physique s'expriment le plus naturellement, et il faut considérer le détour emprunté par d'Alembert et par toute la mathématique qui s'ensuivit comme un accident de l'histoire.

    Ouvrons par exemple la traite de Landau et Lifchitz, Théorie du Champ au chapitre concernant la diffraction. Nous y lisons ceci (les mots soulignes le sont par moi) [24] :

    "Dans bien des cas, les méthodes de résolution approchée du problème de la distribution de la lumière au voisinage de la frontière de l'ombre s'avèrent suffisantes. Cette méthode est applicable lorsqu'on s'écarte peu de l'optique géométrique. On suppose, par la même, primo, que toutes les dimensions sont grandes par rapport à la longueur d'onde (ceci concerne aussi bien les écrans et les trous que les distances des corps aux points d'émission et d'observation de la lumière); secundo, on ne considère que de faibles écarts de la lumière par rapport à la direction des rayons lumineux définis par l'optique géométrique." (p.196)

    "Imaginons une surface recouvrant l'ouverture et limitée par ses bords (...). Divisons cette surface en éléments d'aire df, petits par rapport aux dimensions de l'ouverture, mais grands par rapport à la longueur d'onde de la lumière. " (p.197)

    "Lorsque la source et le point P, où l'on cherche l'intensité de la lumière, se trouvent à distance finie de l'écran, dans la détermination de l'intensité en P seule intervient une petite région de la surface d'onde, à laquelle est étendue l'intégration (...). Les phénomènes de diffraction où n'interviennent que de petits éléments de la surface d'onde sont appelés diffraction de Fresnel (...). Mais une petite portion du bord peut toujours être considérée comme rectiligne." (p.203)

    "Posons le problème de la détermination de la distribution en direction de l'intensité de la lumière diffractée à des grandes distances derrière l'écran (une telle position du problème répond à la diffraction de Fraunhofer). En outre, nous supposerons que l'on s'écarte peu de l'optique géométrique, c'est à dire que les angles de déviation à partir de la direction initiale des rayons sont petits." (p.207)

    On constate à cette lecture que l'analyse de la diffraction chez Landau et Lifchitz fait intervenir jusqu'à quatre ordres de grandeurs différentes :

    1. la longueur d'onde de la lumière;
    2. les dimensions des "éléments de surface" qui, selon le principe d'Huygens, émettent la lumière comme autant de sources ponctuelles;
    3. les dimensions de l'ouverture;
    4. la distance d'observation.

    Les deux analyses différentes, appelées "diffraction de Fresnel" et "diffraction de Fraunhofer" ne se distinguent pas par la méthode, mais par les grandeurs considérées comme petites dans le premier cas, la distance d'observation est du même ordre de grandeur que les dimensions de l'ouverture, et on peut négliger la forme de l'ouverture; dans le second cas, la distance d'observation est grande par rapport à la dimension de l'ouverture, et les angles de déviation sont petits, de sorte que l'on peut négliger la courbure de la surface d'onde et considérer que l'on a affaire à une onde plane monochromatique. Le raisonnement exposé par Landau et Lifchitz peut être traduit littéralement dans le langage robinsonien, et y devient alors parfaitement rigoureux. Les raisonnements de ce type sont omnipresents dans tous les livres de physique, et on comprend maintenant pourquoi ces raisonnements, que l'on croyait non rigoureux, parvenaient toujours à leur fin.

    Le concept robinsonien de la partie standard (d'un nombre) est plus subtil et on le rencontrera plus rarement; beaucoup plus rarement même, sous sa forme pure. En voici pourtant un exemple assez saisissant : la définition de l'entropie d'un système composé d'un très grand nombre de particules (un gaz, par exemple). Avant de l'aborder, permettez-moi de rappeler encore quelques points d'histoire.

    La thermodynamique et ses concepts principaux, l'état, l'énergie interne, et l'entropie, a été créée (pour l'essentiel par Clausius) bien avant que l'on connaisse la structure atomique de la matière. Aussi, la définition de l'entropie chez Clausius n'a aucun caractère statistique; elle est purement fonctionnelle et fait de l'entropie une grandeur à variation continue (aujourd'hui les mathématiciens diraient : c'est une fonction continue à valeurs réelles). La thermodynamique de Clausius était une théorie complète, cohérente, et autonome lorsque, en 1872, Ludwig Boltzmann prétendit qu'elle décrivait en fait la trace macroscopique des innombrables mouvements individuels des molécules (à l'époque encore hypothétiques) qui composaient le corps; Boltzmann réussit à démontrer les deux grands principes de la thermodynamique énonces par Clausius, la conservation de l'énergie et la croissance de l'entropie, à partir de la statistique; il fit de l'entropie une grandeur de nature statistique, pouvant être définie et mesurée uniquement à cause de la valeur énorme du nombre d'Avogadro (de l'ordre de 10²⁴ : un infiniment grand !). En fait, l'interprétation de Boltzmann ne rend pas compte de certains phénomènes, reconnus aujourd'hui comme la trace macroscopiques de propriétés quantiques; c'est pourquoi la définition moderne de l'entropie fait appel à la mécanique quantique, et c'est celle que nous allons examiner. Pour cela, voyons Landau et Lifchitz, Physique statistique, chapitre 7, pages 34 à 41; ou bien le Cours de physique de Berkeley tome V, Physique statistique chapitre 4, paragraphe 1, pages 142 à 147, ou tout bon traité de physique statistique. On y apprend que les niveaux d'énergie quantique (c'est à dire les valeurs propres de l'opérateur hamiltonien du système tout entier, qui est un opérateur différentiel du second ordre agissant sur environ 10²⁴ variables) sont, à cause de la grandeur du nombre d'Avogadro, extrêmement nombreuses et serrées : leur distribution est aléatoire et mouvante (l'arrivée d'un seul photon suffit à les bouleverser), mais ils sont tellement nombreux que la distance moyenne entre deux niveaux consécutifs est de l'ordre de 10^{-10²⁴}, c'est à dire un nombre d'une petitesse fantastique :

    "On peut montrer en général, que le nombre de niveaux pour un intervalle fini du spectre d'énergie du corps macroscopique augmente avec le nombre de particules de ce corps suivant une loi exponentielle, et la distance entre les niveaux s'exprime par un nombre de l'ordre de 10^{-N} (où N est du même ordre de grandeur que le nombre de particules du corps), l'unité prise est ici sans importance car la différence entre les unités d'énergie ne joue aucun rôle pour un tel nombre prodigieusement petit". (Landau et Lifchitz, Physique statistique, page 25).

    L'entropie d'un système peut alors se définir de la manière suivante : soit un petit [25] intervalle I autour de l'énergie moyenne du système (car l'énergie exacte du système, c'est à dire le niveau d'énergie quantique auquel il se trouve, fluctue légèrement, au cours de chaque petit [25] intervalle de temps, autour d'une moyenne), et le nombre  (immense) des états quantiques, pouvant être occupés par le système, et dont les niveaux d'énergie sont dans l'intervalle I; l'entropie est alors :
             S=kLogU
où k est la constante de Boltzmann (k=1.38×10⁻¹⁶ erg/degré Kelvin).

    La cohérence de cette définition repose sur la petitesse de la constante de Boltzmann. En effet, la valeur de S semble dépendre du choix de l'intervalle I; mais nous ne considérons que des intervalles petits à l'échelle humaine, mais énormes par rapport à la distance qui sépare deux niveaux d'énergie consécutifs; entre deux tels intervalles I et I′ le nombre de valeurs propres de l'énergie qu'ils contiennent varie de U à U′, mais le rapport c=U′/U reste à l'échelle humaine; nous aurons alors pour I′ la valeur
             S′=kLogU′=kLogU+kLogc=S+kLogc
et puisque k est tellement petit, kLogc est lui aussi extrêmement petit, tandis que S=kLogU prend une valeur raisonnable. Par conséquent, S′≃S. Dans le langage robinsonien, nous dirions que la partie standard de S=kLogU est indépendante du choix de l'intervalle I, pourvu que celui-ci se situe toujours à une échelle de grandeur donnée (petite, mais pas trop). La mécanique statistique n'offre aucun moyen d'éviter ce recours au concept (robinsonien avant la lettre) de partie standard pour fournir une définition de l'entropie.

    Ce concept étant radicalement étranger aux mathématiques qu'ils ont apprises, il est intéressant de voir comment les divers auteurs l'affrontent. Ceux qui ont été les plus culpabilisés par leur éducation mathématique (c'est le cas de la plupart des auteurs français) adoptent en général pour leur exposé la tactique suivante : traiter d'abord un exemple extrêmement simple où un choix naturel unique semble s'imposer pour l'intervalle I, puis escamoter le raisonnement général en assurant qu'il est analogue quoique complexe [26]. Cette façon de faire se rencontre par exemple dans les deux ouvrages suivants, qui sont d'ailleurs excellents : Physique quantique et thermique par P. Morel (ed. Hermann 1969) et Thermodynamique et physique statistique par B. Jancovici (Ediscience 1969). A l'opposé on trouvera des auteurs particulièrement dénués de scrupules, comme Landau et Lipchitz, pour qui le concept robinsonien ne semble poser aucun problème (pas même pour le lecteur qu'ils se supposent); ils se contentent de noter rapidement que :
    "Pour ce qui est de l'intervalle DE (=I dans mon texte), il est du même ordre de grandeur que la fluctuation moyenne de l'énergie du système." (Ibid, page 35)

    Les auteurs anglo-saxons ont en général un sens pratique très solide. Par exemple F. Reif, l'auteur du cours de physique statistique de Berckley, affronte la difficulté de face. Il commence par faire une partition du spectre d'énergie en intervalles égaux, et fixés une fois pour toute (ce qui a l'avantage de concentrer toute la difficulté conceptuelle uniquement dans le choix de cette partition) :

    Considérons un système macroscopique avec des paramètres extérieurs donnés, ainsi que ses niveaux d'énergie. Nous noterons l'énergie totale du système E. Pour faciliter le comptage des états, nous grouperons ces états par énergie en divisant l'échelle d'énergie en petits intervalles de même longueur dE. dE est supposé très petit à l'échelle macroscopique (c'est à dire très petit devant l'énergie totale du système et petit devant la précision de n'importe quelle mesure macroscopique de son énergie). D'un autre côté, dE est supposé très grand à l'échelle microscopique (c'est à dire beaucoup plus grand que l'énergie d'une seule particule du système et aussi, par conséquent, beaucoup plus grand que la séparation de deux niveaux d'énergie adjacents du système). Un intervalle quelconque dE contient ainsi un très grand nombre d'états quantiques possibles du système. Nous introduirons la notation :
             U(E)= le nombre d'états d'énergies comprises entre E et E+dE.

    Le nombre d'états U(E) dépend de la largeur dE de l'intervalle élémentaire choisi. Puisque dE est macroscopiquement très petit, U(E) doit être simplement proportionnel à dE, c.-à-d. que nous pouvons écrire
             U(E)=r(E)d(E)
où r(E) est indépendant de la largeur dE (la quantité r(E) est appelée densité d'états parce qu'elle est égale au nombre d'états par unité d'énergie pour une énergie donnée E). Puisque l'intervalle dE contient un grand nombre d'états, U(E) change assez peu quand on passe d'un intervalle d'énergie à l'intervalle adjacent. Par conséquent, U(E) peut être considérée comme une fonction variant continument de l'énergie E. Nous examinerons plus spécialement la variation de U(E) avec l'énergie E pour un système macroscopique."
    (Cours de physique de Berckley, tome 5, Physique statistique, traduction française, ed. Armand Colin 1972, pages 119 et 120).

    Après quoi, l'entropie est définie par S=kLogU(E) (page 147). Le passage que nous venons de citer est remarquable à bien des égards; par exemple, le spectre d'énergie est considéré comme un nombre fini d'intervalles de largeur dE et tout se passe macroscopiquement comme si la variable E ne prenait que cet ensemble fini de valeurs; en outre, puisque "U(E) change assez peu quand on passe d'un intervalle d'énergie à l'intervalle adjacent", l'entropie S "peut être considérée comme une fonction continue de l'énergie E". Dans le langage robinsonien, nous pourrions dire que S est une fonction S-continue (c'est à dire macroscopiquement continue) de la variable discrète E.

    Comme j'ai déjà dit, pour le physicien deux valeurs sont infiniment voisines si la précision des instruments de mesure ne permet pas de les distinguer. Mais cette idée ne peut pas s'exprimer par une simple inégalité; impossible de donner un nombre a et de dire : voilà, si x<a, x est infiniment petit, et si x>a, x est non infiniment petit; car il faut que si dans un calcul on donne deux valeurs infiniment voisines à une variable, les deux valeurs du résultat soient encore infiniment voisines; par exemple, la somme de deux infiniment petits doit encore être un infiniment petit. De la même façon, pour qu'un nombre puisse être considéré comme infiniment grand, il ne suffit pas qu'il soit plus grand que toutes les valeurs intervenant dans le problème, mais il faut en outre qu'il soit plus grand que tout résultat d'un calcul pouvant concerner le problème. Autrement dit, un nombre fini, si on lui applique une formule "normale", doit donner un nombre fini. Seules les notions robinsoniennes de halo et de galaxie [27] permettent d'exprimer mathématiquement ce fait. Simplement, alors que pour Robinson un nombre reste fini à travers toutes les aventures mathématiques standard possibles, le physicien exige seulement qu'il reste fini à travers les aventures mathématiques du problème considéré. Ce que Robinson voulait universel et absolu, le physicien le demande seulement spécifique et relatif. L'analyse non standard est donc bien la théorie de la pratique mathématique du physicien.

[1] Vingt ans en 1981. En réalité, elle est vieille de soixante ans, la découverte originelle ayant été découverte par Skolem, dans les années vingt. (Voir G. Reeb, "La mathématique non standard, vieille de soixante ans ?") Mais elle restera incomprise jusqu'à Robinson.
[2]
A. Koyre
[3]
Imre Toth. "La révolution non euclidienne". La Recherche No.75 (Février 1975) pages. 143 à 151.
[4]
Mais n'oublions pas non plus que les vieux meurent et que des jeunes naissent. Sinon, ça irait moins vite.
[5]
Lewis S. Feuer. "Einstein et le conflit des générations".
[6]
Th. Skolem. Fundamenta Math. No.23 (1934) pp. 150--161.
[7]
G. Reeb. Op. Cit.
[8]
Voir par exemple M. Diener; Halos et galaxies; R. Lutz et M. Goze, "Pratique commentée de la méthode non classique"; E. Nelson "Internal Set Theory"; G. Reeb op. Cit., etc ...
[9]
Th. Skolem. Op. Cit.
[10]
On m'accusera d'éclectisme; mais mon but n'est évidemment pas la synthèse, impossible, des deux approches que je vais présenter; seul leur accord sur un point bien précis m'intéresse. De toute façon, on m'accusera de tant de choses que je me demande pourquoi je prends cette précaution.
[11] L
e mot "primitif" ayant maintenant acquis le sens noble du retour à la nature, je ne me sens plus obligé d'écrire "prétendues primitives".
[12] H. Afven. La cosmologie, mythe ou science. La Recherche No.69.
[13] C'est comme le mythe de Superman : c'est plat.
[14] Je soutiens ici une thèse qu'on trouvera largement partagée et étayée dans l'œuvre de Jacques Nimier; voir par exemple "Le vécu mathématique chez des jeunes français et Qu'embéquais". (IREM de Reims 1979).
[15] Michel Paty. Théorie et pratique de la connaissance chez d'Alembert. (thèse, Strasbourg 1977) notamment le chapitre sur le calcul différentiel.
[16] Toutefois, la tradition s'en est conservée chez les physiciens; voir plus loin l'étude de certains auteurs.
[17] Voir la partie historique du livre de Robinson.
[18] Voir plus loin l'étude de certains auteurs.
[19] E. Benoit, J.L. Caillot, M.&F. Diener, A. Troesch, E. Urlacher.
[20] J. Harthong. La propagation des ondes.
[21] On aurait pu s'y attendre; les mathématiciens ont su faire bien plus de choses avec les distributions qu'avec des fonctions très générales; d'ailleurs Schwartz les a présentées comme des idéalisations de dipôles, ou plus généralement de distributions de charges électriques, c'est à dire d'emblée comme des traces macroscopiques.
[22] E. Nelson. Internal Set Theory, a New Approach to Non-standard Analysis. Bulletin of the AMS. Vol.83 No.6 (Novembre 1977).
[23] R.M. Anderson. Star-finite Probability Theory. Ph.D. Thesis, Yale University, 1977; T. Lindstrom. Hyperfinite Stochastic Integration. I, II, and III, Mathematica Scandinavica No.46, 1980 p. 265--331.
[24] Ici, bien sûr, ils sont en italique.
[25] petit signifie ici en deçà de la précision des instruments de mesure.
[26] Cette méthode didactique n'est d'ailleurs pas malhonnête, car elle permet de dégager une idée simple noyée dans une technique complexe; mais ici, ce n'est pas tant la complexité de la technique que l'on cherche à éviter que la transgression de certains interdits mathématiques.
[27] Marc Diener : Halos et galaxies, I.R.M.A. Strasbourg 1981.

 

 

                         

 

             Messaoud SOUILAH, Associate Professor

             Faculty of Mathematics, USTHB University, Algiers

             Department of ANALYSIS, Laboratory of DYNAMICAL SYSTEMS

             P.O. Box 32 El Alia Bab Ezzouar, Algiers 16111 Algeria

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